Was ist Mathematik?

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47 brauchen nur den Nennern so gross zu wahlen, dass das Intervall [0, 1/n] kleiner wird als das fragliche Intervall [A, B], dann muss mindestens einer der Bruche mfn innerhalb des Intervalls liegen. Also kann es kein noch so kleines Intervall auf der Achse geben, das von rationalen Punkten frei ware. Es folgt weiterhin, dass es in jedem Intervall unendlich viele rationale Punkte geben muss; denn wenn es nur eine endliche Anzahl gabe, so konnte das Intervall zwischen zwei beliebigen benachbarten Punkten keine rationalen Punkte enthalten, was, wie wir eben sahen, unmoglich ist. 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff 1. Einleitung Vergleicht man zwei Strecken a und b hinsichtlich ihrer Grosse, so kann es vor kommen, dass a in b genau r-mal enthalten ist, wobei r eine ganze Zahl darstellt. In diesem Fall konnen wir das Mass der Strecke b durch das von a ausdrucken, indem wir sagen, dass die Lange von b das r-fache der Lange von a ist. Oder es kann sich zeigen, dass man, wenn auch kein ganzes Vielfaches von a genau gleich b ist, doch a in, sagen wir, n gleiche Strecken von der Lange afn teilen kann, so dass ein ganzes Vielfaches m der Strecke afn gleich b wird: b=!!!..a."