Finite-Volumen- und Mehrgitter-Verfahren für elliptische Randwertprobleme

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Die numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen erfordert oft die Lösung großer Gleichungssysteme, wobei bei dreidimensionalen Problemen mehrere Millionen Unbekannte üblich sind. Trotz des exponentiellen Anstiegs der Rechenleistung in den letzten Jahrzehnten könnten viele praxisrelevante Probleme ohne die Entwicklung effizienter Algorithmen nicht gelöst werden. Zu den bedeutendsten Fortschritten zählen adaptive Mehrgitter- und Multilevelverfahren, die auf der Kombination adaptiver Diskretisierungstechniken mit schnellen Lösungsverfahren basieren. Adaptive Diskretisierungstechniken zielen darauf ab, die Anzahl der Unbekannten und die Dimension des Gleichungssystems zu minimieren. Während früher vorwiegend gleichmäßig strukturierte Rechteckgitter verwendet wurden, ermöglichen moderne Fehlerschätzer eine schrittweise Anpassung der Diskretisierung, beginnend mit einem groben Anfangsgitter. Das Gitter wird lokal verfeinert, wo aufgrund von Fehlerabschätzungen eine höhere Genauigkeit erforderlich ist, etwa in der Nähe von Singularitäten oder Grenzschichten. Bereiche mit hinreichend glatten Lösungen bleiben unverfeinert oder können sogar wieder vergröbert werden, insbesondere bei zeitabhängigen Anwendungen.