Das Poisson-Integral für Kugeln in Räumen konstanter Krümmung

Das Dirichlet-Problem ist zweifellos eine der wichtigsten Fragestellungen der Analysis. Dabei handelt es sich um die Suche nach einer harmonischen Funktion auf einem Gebiet im euklidischen Raum, die eine gegebene stetige Funktion auf dem Rand des Gebietes in das Innere stetig fortsetzt. Dieses Problem ist bei hinreichend glatt berandeten Gebieten eindeutig lösbar, und die Lösungsfunktion läßt sich in der Form eines gewichteten Integrals über die Randfunktion darstellen. Man spricht vom Poisson-Integral, und das vom inneren Punkt abhängige Gewicht heißt Poisson-Kern. Außer für ganz wenige Arten von Gebieten (wie etwa für Kugeln oder Halbräume) sind keine expliziten Ausdrücke für den Poisson-Kern verfügbar. In dieser Abhandlung werden die Poisson-Kerne für (geodätische) Kugeln in den nicht-euklidischen Räumen konstanter Krümmung und beliebiger Dimension berechnet. (Die Prototypen dieser Räume sind die euklidischen Sphären und die hyperbolischen Räume.) Dabei treten interessante Spezialfälle auf, wie der einer Halbsphäre und des damit zusammenhängenden elliptischen Raumes, in dem der Poisson-Kern eine ähnliche Struktur wie im Euklidischen besitzt. Ein ganzes Kapitel befaßt sich mit den Desintegrations- oder Faktorisierungseigenschaften des Poisson-Integrals. Desweiteren wird der Poisson-Kern für das Äußere einer Kugel im hyperbolischen Raum konkret angegeben. In allen Darstellungen, Ausdrücken und Formeln spielt die klassische hypergeometrische Funktion eine zentrale Rolle. Das nicht-euklidische Poisson-Integral stellt damit einen wichtigen Anwendungsbereich dieser Funktion dar.