Das Poisson-Integral für Kugeln in Räumen konstanter Krümmung

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Das Dirichlet-Problem ist eine zentrale Fragestellung der Analysis, die die Suche nach einer harmonischen Funktion in einem Gebiet des euklidischen Raums betrifft. Diese Funktion soll eine gegebene stetige Randfunktion stetig ins Innere fortsetzen. Bei ausreichend glatten Randbedingungen ist das Problem eindeutig lösbar, wobei die Lösung als gewichtetes Integral über die Randfunktion dargestellt wird. Der Poisson-Integral und der Poisson-Kern, das vom inneren Punkt abhängige Gewicht, sind dabei entscheidend. Für die meisten Gebiete, abgesehen von wenigen wie Kugeln oder Halbräumen, existieren keine expliziten Ausdrücke für den Poisson-Kern. In dieser Abhandlung werden die Poisson-Kerne für geodätische Kugeln in nicht-euklidischen Räumen konstanter Krümmung und beliebiger Dimension berechnet, wobei euklidische Sphären und hyperbolische Räume als Prototypen dienen. Besondere Fälle, wie die Halbsphäre und der zugehörige elliptische Raum, zeigen ähnliche Strukturen wie im euklidischen Raum. Ein Kapitel widmet sich den Desintegrations- oder Faktorisierungseigenschaften des Poisson-Integrals. Zudem wird der Poisson-Kern für das Äußere einer Kugel im hyperbolischen Raum konkretisiert. Die klassische hypergeometrische Funktion spielt in allen Darstellungen eine zentrale Rolle und stellt einen wichtigen Anwendungsbereich des nicht-euklidischen Poisson-Integrals dar.