Einführung in die moderne Mathematik

Inhaltsverzeichnis1. Mengen.1.1. Einleitung und elementare Begriffe.1.2. Eigenschaften der Elemente und der Mengen.1.3. Variable und Variablenbereiche.1.4. Die Konstruktion von Mengen.1.5. Die Namen für Objekte und Mengen.1.6. Die allgemeine Gleichheitsrelation.1.7. Die Gleichheit.1.8. Übungen.2. Weiteres über Mengen.2.1. Untermengen und Obermengen. Die Inklusion.2.2. Betrachtungen über die Gleichheit und die Inklusion.2.3. Der Gebrauch gewisser Mengen.2.4. Die leere Menge und die Einer menge.2.5. Disjunkte Mengen. Strikte Inklusion.2.6. Geordnete Paare. Diskrete Mengen und kontinuierliche Mengen.2.7. Cartesische Produkte.2.8. Übungen.3. Operationen auf Mengen.3.1. Allgemeines über die Mengenalgebra.3.2. Der Durchschnitt von Mengen.3.3. Vereinigung von Mengen.3.4. Vermischte Operationen.3.5. Das Komplement einer Menge.3.6. Dualität.3.7. Zusammengesetzte Mengen und ihre Komplemente.3.8. Übungen.4. Relationen.4.1. Gewöhnliche Relationen.4.2. Mathematische Relationen.4.3. Darstellung von Relationen in endlichen Mengen.4.4. Darstellung von Relationen in unendlichen Mengen.4.5. Komplementäre und inverse Relationen.4.6. Mathematische Nomenklatur.4.7. Spezielle Arten von Relationen.4.8. Erweiterung des Begriffes der Relation.4.9. Übungen.5. Funktionen.5.1. Die Grundlagen des Funktionsbegriffes.5.2. Verschiedene Betrachtungsweisen von Funktionen.5.3. Spezielle Typen von Funktionen.5.4. Übungen.6. Über die mathematische Sprache.6.1. Das Gespräch und der Satz.6.2. Modifikatoren und Bindewörter.6.3. Allgemeingültige Aussagen.6.4. Quantoren.6.5. Quantorenregeln.6.6. Absolute Variable und Substitution.6.7. Übungen.7. Ein wenig Axiomatik.7.1. Die Ausdrücke eines mathematischen Systems.7.2. Primitive Ausdrücke.7.3. Definitionen.7.4. Postulate und Theoreme.7.5. Modelle eines mathematischen Systems.7.6. Die Beweisregeln.7.7. Direkte und indirekte Beweise.7.8. Deduktive Systeme.7.9. Übungen.8. Die kommutative Gruppe.8.1. Allgemeines über die Methode der Abstraktion.8.2. Anwendung auf die Konstruktion einer Gruppe. Das Abschlußpostulat.8.3. Die Postulate der Assoziativität, Kommutativität und Identität.8.4. Das Postulat des Inversen.8.5. Die Postulate und Theoreme der kommutativen Gruppe.8.6. Erweiterung der Theorie. Binäre Operationen. Die Operation „Kreis“.8.7. Verschiedene Modelle der kommutativen Gruppe. Symmetrische Differenz und direkte Summe.8.8. Übungen.Sachwortverzeichnis.