Petr Vopěnka Books

Pro matematiku dvacátého století je příznačné, že její hlavní proud zkoumající a zároveň aplikující nekonečno, byť v bizarních ideálních světech, je založen na klasické Cantorově teorii nekonečných množin. Ta sama se pak opírá o problematický předpoklad existence množiny všech přirozených čísel, jehož jediné - a to navíc teologické - odůvodnění bývá zamlčováno a vytlačováno do kolektivního nevědomí. Kniha nejprve zkoumá teologické základy, z nichž klasická teorie množin vznikla a na nichž se rozvíjela. Autor varuje před nebezpečími skrytými v konstrukci teorie množin, která lze vysledovat v pracích některých významných matematiků, jakož i v jeho vlastních pracích. Poté předkládá argument o absurditě předpokladu existence množiny všech přirozených čísel. Autorem budovaná nová infinitní matematika není však jen pouhou negací současných názorů a předpokladů. Naopak, jeho teorie je vedena opatrnou snahou o nová překračování obzoru ohraničujícího antický geometrický svět a předmnožinovou matematiku a snaží se o těsnější korespondenci s přirozeným reálným světem kolem nás. Druhá polovina textu je věnována rehabilitaci nekonečně malých veličin i jejich zásadní role v matematické analýze.

Stěžejní dílo předního českého vědce a myslitele vychází po několikaleté odmlce, kdy na trhu zcela chybí. Jedná se o syntézu matematického, filozofického a historického poznání, mapující vývoj geometrie od antiky po novověk a zakládající evropské myšlení. Souhrnné dílo se skládá ze čtyř knih. První kniha objasňuje otevření geometrického světa a jeho zušlechtění v antice, kdy geometrie stanovila ideál evropské vědy na další tři tisíciletí. Druhá kniha pojednává o rozepnutí geometrického světa do absolutního nekonečna a teologických vlivech, které přispěly k vzniku novověké vědy, jež vložila reálný svět do klasického geometrického prostoru. Třetí kniha se věnuje důsledkům tohoto kroku a období novověké přírodovědy, významu Isaaca Newtona a rozvoji čistého rozumu. Čtvrtá kniha završuje dílo a zasvěcuje čtenáře do vývoje geometrie a evropského myšlení. Objev neeukleidovské geometrie přináší lidstvu překvapení, když ukazuje, že svět skrývá neobjasnitelné tajemství. „Tomu, co nám ZA OBZOREM HROZÍ, jsme dali název „NEKONEČNO", antičtí myslitelé „APEIRON“. HROZBA je DVOJÍ: jednak NEURČITOST a NEJISTOTA, jednak OSAMOCENÉ BLOUDĚNÍ.“

Matematická novela o vzniku neeuklidovské geometrie. Autor známých pozoruhodných knih na pomezí historie, matematiky a filosofie na základě svých znalostí rekonstruuje tajemný příběh objevitelů nového pohledu na geometrický svět. Objev neeukleidovské geometrie je opředen mnoha podivnými událostmi. Gaussovo zamlčení tohoto objevu a osudy druhých dvou objevitelů, Jánose Bolyaie a Nikolaje Lobačevského, dodnes k sobě váží pozornost historiků matematiky a vůbec vědy. Neméně záhadné je i tvrdošíjné trvání zmíněných matematiků na bezespornosti této nové geometrie, ačkoliv teprve až po jejich smrti byla její relativní bezespornost vůči geometrii eukleidovské prokázána užitím nových matematických výsledků. Přitom právě tato klíčová záhada unikala až dosud pozornosti geometrů. Pro čtenáře, kteří nepřečetli knihu Úhelný kámen evropské vzdělaností a moci, je připojen dodatek, v němž je stručně nastíněn vývoj problému tzv. axiomu o rovnoběžkách.

Podtitul: První přednášky o teorii množin. Rukopis této knihy jsem přečetl studentům Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy na výběrové přednášce konané v roce 1993. Vydána pak byla nakladatelstvím Karolinum v roce 1998. Do spisu Vyprávění o kráse novobarokní matematiky, vydaném [..] v roce 2004, jsem tuto knihu zařadil jako první díl. Petr Vopěnka, světově významný matematik, vypráví o duchovním podhoubí zlomu matematického myšlení, na cestě za absolutním nekonečnem v množinovém myšlení. Nejde o matematickou učebnici.

Podtitul: Souborné vydání Rozprav o teorii množin Rozsáhlé pojednání rekapituluje vývoj matematiky od počátku novověku po současnost. První kniha přibližuje spory teologů a vědců o existenci aktuálního nekonečna. Následující část pojednává o Cantorově výstavbě nekonečných ordinárních a kardinálních čísel z posledních desetiletí devatenáctého století. Třetí kniha se zabývá vývojem matematiky založené na existenci aktuálně nekonečných množin. Předposlední se věnuje poválečnému vývoji teorie množin až do začátku sedmdesátých let dvacátého století. Epilog obsahuje úvahy o problému pravdy v oboru aktuálně nekonečných množin. Druhé vydání: Kniha volně navazující na dílo Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci. Na vývoji novověké matematiky nám autor opět odkryje i základní filozofické pilíře myšlení té doby. Kniha zároveň objevuje význam českého baroka pro vznik teorie množin.

Kniha umožňující sdílet velký příběh počátků a následující mocnosti a moci matematiky. Brilantní matematické úsudky formulované s historickou znalostí a filosofickým přesahem. Tento titul doplňuje slavné autorovy Rozpravy s geometrií i některé další.

Devět autorových meditací vzniklo jako parafráze na stejnojmenné Descartesovo dílo, jenž položilo základy moderní vědy. Vopěnka staví poslání vědy jako pomocníka při orientaci ve spleti jevů okolního světa a nikoli jako bezobsažné hledání nepochybné pravdy. „Vopěnkova kniha je do jisté míry převratná. Kdyby totiž Petr Vopěnka celý život psal jen o alternativní teorii množin, zařadil by se na dlouho mezi nejvýznamnější české matematiky, kdyby napsal jen Rozpravy s geometrií, zařadil by se mezi její nejzajímavější světové popularizátory a historiky oboru. Knihou Meditací o základech vědy se však zařadil mezi nepřehlédnutelné české i světové myslitele.“

Nové původní autorské dílo předního českého matematika a filosofa Petra Vopěnky. Text navazuje na myšlenku vydání jeho stěžejního matematického traktátu (Alternativní teorie množin) v českém jazyce. Po mnohaleté práci však nyní čtenář nedostává překlad této knihy, ale nové zpracování a rozvoj základních prvků této teorie s řadou přesahů do epistemologie a filosofie vůbec. Úvodní část knihy je tedy věnována pojmům neostrost a nekonečno a jako základní nástroj pro popis jsou postulovány polomnožiny, jimž je věnována další významná část. Dále se dočtete o pojmu nerozlišitelnost a s ním souvisejícím povstávání topologických tvarů na množstvích. Hlavní část knihy je doplněna dvěma metafyzickými meditacemi. Kniha má ještě tři rozsáhlé dodatky: Alternativní teorii množin, Popis problému aktualizovatelnosti nekonečna a překlad části stati do angličtiny (The problem of actualizability). Kniha se svým významem a pojetím snaží znovu obhájit pojetí poznání jako dobrodružství a vyvést matematiku zpět k filosofii, kam ostatně neodmyslitelně patří.

První čtyři knihy Základů jsou věnovány planimetrii. Pojednávají o rovinných geometrických objektech (úsečce, trojúhelníku, kružnici, rovnoběžníku apod.) a o jejich základních vlastnostech a vztazích. Tvrzení jsou odvozována z několika axiomů a postulátů. K evidenci jsou tak přivedena základní geometrická tvrzení například Pythagorova a Thaletova věta, věty o součtu úhlů v trojúhelníku a o vztahu obvodového a středového úhlu v kružnici. Autorem komentářů a textů doplňujících Heibergovo (a tedy i české Servítovo) vydání Základů je Petr Vopěnka.

Matematický pohled na svět. Texty pojednávají nejenom o vývoji matematiky, ale zabývají se i filozofickou a politickou problematikou. Tématicky velice různorodé texty (např. Bolzano, smysl matematiky, marxismus, rodina, česká státnost) přibližují odborná stanoviska i politické postoje spolutvůrce alternativní teorie množin. Knižní vydání přednášek a časopiseckých textů naznačuje šíři autorova zájmu. 2500 výt.

Vědění uloupené bohům olympským. První kniha Rozprav začíná objevem geometrického světa starověkými Řeky. Vopěnka rozlišuje dva základní druhy interpretace jevů. Barbarský výklad světa, zdroj evropské moci, zůstává při vysvětlování jevů na povrchu a jeho jediným cílem je věci ovládnout a získat nad nimi moc. Antický výklad, zakládající evropskou vzdělanost, se naproti tomu snaží odkrýt jejich hlubší smysl a postihnout pravdu. Vopěnkův obraz vývoje matematických idejí je postaven na předpokladu, že matematické myšlení vychází ze skrytých inspirací filosofie, teologie, přírodních věd, apod., a proto věnuje ve svém díle mnoho pozornosti vylíčení atmosféry doby a pečlivě probírá její osobnosti (Pythagorás, Platón, Aristotelés, Démokritos, Bruno, Galilei, Descartes, Newton,…) pokud jde o jejich možné i nemožné vlivy na geometrii. Ústřední osou celých Rozprav jsou pak samozřejmě Eukleidovy Stoicheia, ve kterých byly položeny základy klasického geometrického světa. (Zdeňka Jastrzembská)

Podtitul: 27 filosofických disputací Kniha profesora Petra Vopěnky Hádání v hospodě je mimořádně zdařilým příkladem živého neakademického filosofování. Rámec „totalitní hospody“ autorovi posloužil nejen jako připomínka života doby minulé, ale i jako východisko k vyjádření řady originálních a hlubokých myšlenek určených pro naši současnost. Neobyčejně podnětné, živě psané a myšlenkově dramatické dialogy tak potěší každého, kdo dokáže prožít radost z poznávání. Prorežimní vědec-technokrat, samorostlý myslitel topič, farář bez státního souhlasu a starý zahradník zde diskutují o povaze reality, smyslu vědy, buddhistické nirváně, středověké vizi vesmíru, duchovním životě rostlin a o řadě dalších pozoruhodných věcí. I sem, do světa hospody, však stále naléhavěji vstupuje vnější svět: cenzura, zákaz pobytu, Charta 77. Příběh hledání pravdy vrcholí a oba světy se nakonec prolnou. Co bude dál?

Rukopis této knihy vznikl v první polovině osmdesátých let jakožto podklad k mým přednáškám na matematicko-fyzikální fakultě Karlovy university. (Z předmluvy)

Kniha reflektuje historii matematiky konce 19. století, pokládá filosofické a historické poznámky okolností vzniku Cantorovy teorie množin a její rozvoj v první polovině 20. století. Množiny jsou zde stavěny jako jevy a jejich vlastnosti. V závěru knihy je naznačen směr, jakým se teorie množin ve 20. století ubírala, v kontrapozici k Bolzanově myšlení. Kniha je doplněna komentáři Marie Benediktové Větrovcové a Petra Vopěnky. Shrnutí Alena Vencovská. Kniha obsahuje podrobný rejstřík, seznam značení a literaturu.

Pro matematiku dvacátého století je příznačné, že její hlavní proud nekonečno zkoumající a zároveň aplikující, byť v bizarních ideálních světech, je založen na klasické Cantorově teorii nekonečných množin. Ta sama se pak opírá o problematický předpoklad existence množiny všech přirozených čísel, jehož jediné – a to navíc teologické – odůvodnění bývá zamlčováno a vytlačováno do kolektivního nevědomí. I když autor uvádí některá důrazná varování znamenitých matematiků před nebezpečími skrytými v současné infinitní matematice, není jím budovaná nová infinitní matematika jen pouhou negací současných názorů a předpokladů. Naopak, ta infinitní matematika, do níž předběžným úvodem je tento spisek, je vedena opatrnou snahou o nová překračování obzoru ohraničujícího antický geometrický svět.

Kniha je souborem nejzajímavějších rozhovorů s lidmi, ať již s umělci, vědci, pedagogy či spisovateli s často svéráznou filozofií a životním postojem, které mohli čtenáři slyšet na Veřejných debatách v jihočeské metropoli, pořádaných právě tímto občanským sdružením. Na otázky postupně odpovídali takové osobnosti, jako jsou Milan Knížák, Bořek Šípek, Karel Hvížďala, Petr Vopěnka, Boris Cvek, Vladimír Kokolia, Cyril Höschl, Zdeněk Lukeš, Jindřich Štreit a Robin Šóen Heřman.

Další původní, autorské dílo matematika a filosofa Petra Vopěnky. Pokračování prvního dílu, který obsahoval poznatky z diferenciálního počtu se tento druhý díl věnuje počtu integrálnímu. Další z titulů Badatelského semináře, která obsahuje texty: Integrál reálné funkce jedné proměnné, Základní neurčité integrály a Situace knihy. Odmítnutí Newtonova a Leibnizova pojetí kalkulu nekonečně malých veličin v matematice 19. a 20. stol. - vyvolané ať jejich neochotou či neschopností domyslet a dotvořit základní pojmy - bylo jedním z největších omylů nejen matematiky, ale evropské vědy vůbec. Pomyslné prodloužení původních přirozených čísel až do nestandardních a jejich převrácení do nekonečně malých je značně neintuitivní, na rozdíl od přístupu v této knize, jehož intuice je evidentní a postupně je zde budována. Petr Vopěnka vychoval dvě generace významných matematiků; vystudoval a působil na MFF UK a po roce 1989 působil i jako ministr školství. Nyní je zpět v akademickém prostředí, kde stále tvoří v oblastech filosofie matematiky.

Odmítnuti Newtonova a Leibnizova pojetí infinitesimálního kalkulu matematiky 19. a 20. stol. – vyvolané ať již jejich neochotou či neschopnosti domyslet a dotvořit základni pojmy, o něž se původní pojetí tohoto kalkulu opíralo – bylo jedním z největších omylů nejen matematiky, ale evropské vědy vůbec. Tato první kniha o infinitesimálním kalkulu obsahuje jen základní poznatky z diferenciálního počtu reálných funkcí jedné proměnné, a to přibližně v rozsahu odpovídajícímu známému Úvodu do počtu diferenciálního. Následkem toho jsou všechny pojmy a všechna tvrzeni zde uvedené jednoduše přeložitelné do E, D-analýzy, což si čtenář může ověřit v Dodatku. Tam je uveden návod, podle nějž lze poměrně jednoduše překládat pojmy a tvrzeni, v jejichž formulacích se vyskytuji nejvýše dvě střídající se kvantifikace nekonečně malých čísel.

Páteří, byť často skrytou, veškeré infinitní matematiky od jejích počátků až do dnešní doby jsou reálná čísla. Také v nové infinitní matematice hrají tato čísla klíčovou roli. Umístili jsme je až na samu hranici antického geometrického světa, kde by měla zachycovat jeho soudržnost a kontinuitu. Na rozdíl od klasické matematiky ale neklademe tuto hranici až do nějakého strnulého absolutního nekonečna, ale vykládáme ji jako obzor, i když jen jako obzor geometrický. Tím jsme si takříkajíc uvolnili ruce k manipulacím jak s touto hranicí, tak s čísly na ní ležícími. Tak především vhodným posunutím geometrického obzoru lze provést diskretizaci reálných čísel. To znamená vyložit celou třídu reálných čísel jako podtřídu jisté konečné množiny ležící na vhodném posunutém obzoru. Některé kapitoly této knihy lze považovat za úvod k teorii diferenciálů funkcí jedné i více proměnných, k teorii distribucí, analysis situs, a podobně.

Newtonův a Leibnizův objev infinitezimálního kalkulu je dodnes považován za jeden z největších výdobytků lidského ducha. Je tomu tak právem, neboť matematika jím obdržela metodu nevídané účinnosti, která jí umožnila získávat poznatky výrazně překračující obzor do té doby obvyklého geometrického názoru a novověká evropská přírodověda nepostradatelný nástroj, jemuž vděčí za nejeden ze svých triumfálních úspěchů. Klasická množinová infinitní matematika nekonečně malé veličiny zatracovala a snažila se je z matematiky odstranit. Těžce vydřené výsledky tohoto experimentu zakryly průzračnou povahu nekonečně malých veličin. V této knize je diferenciální počet založený na nekonečně malých veličinách rehabilitován. Užitím výsledků z předcházející knihy lze původní infinitezimální kalkul rehabilitovat v celém rozsahu.

Neexistencí množiny všech přirozených čísel infinitní matematika nekončí. Množství nových hodnotných podnětů jí nabízí reálný svět a nemusí je tedy hledat v nějakém bájném absolutním nekonečnu. Již v přirozeném reálném světě je v syrové podobě nekonečno přítomné v neurčitosti a vůbec v neostrosti jevů. Ostatně, pokud jsou poznatky dosavadní infinitní matematiky vůbec aplikovatelné, pak právě na tyto jevy. V idealizované podobě lze pak tyto jevy přirozeného reálného světa uložit do antického geometrického světa, tak jak do něj byly při jeho vzniku uloženy idealizované jevy tvaru a velikosti. V této knize autor podrobněji zpracovává především dva různé druhy těchto jevů.

Zakladatel klasické teorie množin, Georg Cantor, věděl již v roce 1899, že obor všech transfinitních ordinálních čísel není aktualizovatelný. To znamená, že tento obor nelze nahradit množinou vůbec všech těchto čísel. Každou množinu ordinálních čísel lze totiž prodloužit o další takováto čísla. Předvedení neaktualizovatelnosti oboru všech přirozených čísel obsažená v této knize není ani zdaleka tak jednoduchou a nadto snadno akceptovatelnou záležitostí, jako je tomu v případě transfinitních ordinálních čísel. Téměř celá infinitní matematika dvacátého století se totiž o množinu vůbec všech přirozených čísel opírá. Autorova cesta k vytčenému cíli vede Cantorovou teorií množin až k ultraproduktu. Ten mu pak umožnil definovat operátor ultraextenze, který naráz přetváří obor všech množin do nového oboru všech množin, stejně hodnotného, leč od výchozího oboru se lišícího délkou přirozených čísel. Díky tomu lze i množinu všech přirozených čísel prodloužit o mnoho dalších přirozených čísel.

Nekonečno, prostor a dimenze zdánlivě patří do matematiky od samého jejího počátku. Přesto se jich matematika chopila až na konci 19. století a teprve od 20. století jim věnuje samostatnou disciplínu – obecnou (množinovou) topologii. Ta rozšiřuje poznatky (klasické) teorie množin tak, aby bylo možné vytvořit pro celou matematiku jednotný vysvětlující rámec. Jak napsal Maurice Fréchet, jde o „takový obecný pohled, který obsáhne všechny tyto jednotlivé případy“, tj. algebru, analýzu i geometrii. První část knihy systematicky probírá hlavní témata topologie. Začíná metrickými prostory, následně podává ekvivalentní vymezení topologie, sleduje axiomy oddělování a spočetnosti, tematizuje Tichonovův součin či -obal a vrcholí obecnou metrizační větou. Snahou při dokazování všech tvrzení je udržet co nejvíce na zřeteli názornou matematiku. Druhá část se zabývá historickým vývojem této disciplíny prostřednictvím studia prací uveřejněných v odborných časopisech a také skrze příběhy samotných topologů od Poincarého či Lindelöfa až po Smirnovači Dieudonného. Ukazuje se, že topologie byla ovlivněna filosofickými směry 20. století, jakými byly realismus, existencialismus nebo strukturalismus; sama si přitom vytvořila intuicionismus, logicismus či formalismus.